Question

3．如圖，已知A（-4，n），B（2，-4）是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象和一次函數(shù)y=ax+b的圖象的兩個交點．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫出不等式ax+b-$\frac{k}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）先把B（2，-4）代入y=$\frac{k}{x}$得到k=-8，再把A（-4，n）代入y=-$\frac{8}{x}$可求出n=2，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；
（2）先求出直線y=-x-2與x軸交點C的坐標，然后利用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC進行計算；
（3）觀察函數(shù)圖象得到當x＜-4或0＜x＜2時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方，即使ax+b-$\frac{k}{x}$＜0．

解答 解：（1）把B（2，-4）代入y=$\frac{k}{x}$的得m=2×（-4）=-8，
所以反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{8}{x}$，
把A（-4，n）代入y=-$\frac{8}{x}$得-4n=-8，解得n=2，
把A（-4，2）和B（2，-4）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
所以一次函數(shù)的解析式為y=-x-2；

（2）直線y=-x-2與x軸交于點C（-2，0），
S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4=6；

（3）不等式kx+b-$\frac{k}{x}$＜0的解集為-4＜x＜0或x＞2；
故答案為：-4＜x＜0或x＞2．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了觀察函數(shù)圖象的能力以及用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．