Question

如圖：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分別在AD、BC上，且DE=BP=1．
（1）判斷△BEC的形狀，并說明理由？
（2）判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形？并證明你的判斷；
（3）求四邊形EFPH的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出CD=2，根據(jù)勾股定理求出CE和BE，求出CE²+BE²的值，求出BC²，根據(jù)勾股定理的逆定理求出即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，推出平行四邊形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四邊形EFPH，根據(jù)矩形的判定推出即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出CF，求出EF，根據(jù)勾股定理求出PF，根據(jù)面積公式求出即可．

解答：（1）△BEC是直角三角形，
理由是：∵矩形ABCD，
∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，
由勾股定理得：CE=

CD2+DE2

=

22+12

=

5

，
同理BE=2

5

，
∴CE²+BE²=5+20=25，
∵BC²=5²=25，
∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．

（2）解：四邊形EFPH為矩形，
證明：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BP，
∴四邊形DEBP是平行四邊形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四邊形AECP是平行四邊形，
∴AP∥CE，
∴四邊形EFPH是平行四邊形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四邊形EFPH是矩形．

（3）解：在RT△PCD中FC⊥PD，
由三角形的面積公式得：PD•CF=PC•CD，
∴CF=

4×2

2 5

=

4

5

5

，
∴EF=CE-CF=

5

-

4

5

5

=

1

5

5

，
∵PF=

PC2-CF2

=

8

5

5

，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=

8

5

，
答：四邊形EFPH的面積是

8

5

．

點評：本題綜合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識點的運用，主要培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，此題綜合性比較強，題型較好，難度也適中．