Question

【題目】如圖，雙曲線y=經過點A（1，2），過點A作y軸的垂線，垂足為B，交雙曲線y=﹣于點C，直線y=m（m≠0）分別交雙曲線y=﹣、y=于點P、Q．

（1）求k的值；

（2）若△OAP為直角三角形，求點P的坐標；

（3）△OCQ的面積記為S△OCQ，△OAP的面積記為S△OAP，試比較S△OCQ與S△OAP的大小（直接寫出結論）．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）直接把點A（1，2）代入雙曲線y=，求出k的值即可；

（2）設P（﹣，m），再分∠AOP=90°，∠OAP=90°及∠APO=90°三種情況進行討論；

（3）根據A（1，2）可得出C（﹣9，2），設P（﹣，m），則Q（，m），分別過點A、Q、P、C作x軸的垂線，垂足分別為M、N、K、H，再由反比例函數圖象上點的坐標特點得出△AOM，△QON，△COH與△POK的面積，根據S△OCQ=S梯形CHNQ﹣S△COH﹣S△POK，S△OAP=S梯形AMKP﹣S△AOM﹣S△POK即可得出結論．

解：（1）∵雙曲線y=經過點A（1，2），

∴k=1×2=2；

（2）設P（﹣，m），

∵A（1，2），

∴OA2=12+22=5，AP2=（1+）2+（2﹣m）2，OP2=（）2+m2，

當∠AOP=90°時，

∵OA2+OP2=AP2，即5+（）2+m2=（1+）2+（2﹣m）2，解得m=±3，

∴P1（﹣6，3），P2（6，﹣3）；

當∠OAP=90°時，

∵OA2+AP2=OP2，即5+（1+）2+（2﹣m）2=（）2+m2，解得m=，

∴P3（，），P4（，）；

當∠APO=90°時，此種情況不存在；

（3）∵A（1，2），

∴C（﹣9，2）．

設P（﹣，m），則Q（，m），

分別過點A、Q、P、C作x軸的垂線，垂足分別為M、N、K、H，

∵點A、Q在反比例函數y=的圖象上，

∴S△AOM=S△QON=1．

∵點C、P在反比例函數y=﹣的圖象上，

∴S△COH=S△POK=9．

S△OCQ=S梯形CHNQ﹣S△COH﹣S△POK，S△OAP=S梯形AMKP﹣S△AOM﹣S△POK，

∴S△OCQ﹣S△OAP=S梯形CHNQ﹣S梯形AMKP，

∵梯形CHNQ與梯形AMKP的上底與下底相同，

∴只要比較HN與KM的大小即可，

∵HN﹣KM=（9+）﹣（1+）=8﹣，

∴當m=±2時，HN=KM，即S△OCQ=S△OAP；

當m＞2或m＜﹣2時，8﹣＞0，即S△OCQ＞S△OAP；

當﹣2＜m＜2時，8﹣＜0，即S△OCQ＜S△OAP．