Question

已知：雙曲線C1：y1=

t

x

（t為常數(shù)，t≠0）經(jīng)過點(diǎn)M（一2，2）；它關(guān)于y軸對(duì)稱的雙曲線為C₂，直線l₁：y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）與雙曲線C₂的交點(diǎn)分別為A（1，m），B（n，-1）．
（1）求雙曲線C₂的解析式；
（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l₁的解析式；
（3）若將直線l₁平移后得到的直線l₂與雙曲線C₂的交點(diǎn)分別記為C、D（A和D，B和C分別在雙曲線C₂的同一支上），四邊形ABCD恰好為矩形，請(qǐng)直接寫出直線CD的解析式．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)M（-2，2）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)M′（2，2），代入雙曲線解析式y(tǒng)=

k

x

中，求k，確定雙曲線C₂的解析式；
（2）將A（1，m），B（n，-1）兩點(diǎn)在雙曲線C₂：y=

4

x

中，可求m、n的值，再將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l₁：y=kx+b中，可求直線l₁的解析式；
（3）直線l₁與y軸交于（0，3），根據(jù)雙曲線的軸對(duì)稱性可知，平移后的直線與y軸交于點(diǎn)（0，-3），而一次項(xiàng)系數(shù)不變，由此寫出直線CD的解析式．

解答：解：（1）如圖，∵點(diǎn)M（-2，2）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為M′（2，2），
∴雙曲線C₂的解析式為y=

4

x

；

（2）∵A（1，m），B（n，-1）兩點(diǎn)在雙曲線C₂上，
∴m=4，n=-4，
∴A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，4），B（-4，-1），
∵A（1，4），B（-4，-1）兩點(diǎn)在直線l₁：y=kx+b上，
∴

k+b=4 -4k+b=-1

，
解得

k=1 b=3

，
∴直線l₁的解析式為y=x+3；

（3）直線CD的解析式為y=x-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．注意通過解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)．同時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．