Question

【題目】已知點(diǎn)P為∠MAN邊AM上一動(dòng)點(diǎn)，⊙P切AN于點(diǎn)C，與AM交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在點(diǎn)P的右側(cè)），作DF⊥AN于F，交⊙O于點(diǎn)E．

（1）連接PE，求證：PC平分∠APE；

（2）若DE＝2EF，求∠A的度數(shù)；

（3）點(diǎn)B為射線AN上一點(diǎn)，且AB＝8，射線BD交⊙P于點(diǎn)Q，sin∠A＝．在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)位置，使得△DQE為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠PAC＝30°；（3）存在，AP的長(zhǎng)為6或或．

【解析】

（1）根據(jù)已知條件以及切線的性質(zhì)可得PC//DF，再利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可以證得∠APC＝∠EPC，即可得證結(jié)論；

（2）添加輔助線PH⊥DE于H，根據(jù)已知條件可得DH＝HE＝EF＝HF＝PC＝PD，進(jìn)一步可判定∠DPH＝30°，最后利用平行線的性質(zhì)即可推導(dǎo)出∠A的度數(shù)；

（3）分①DQ＝QE②DE＝QE③DQ＝DE三種情況進(jìn)行討論即可．

解：（1）證明：∵AN切⊙O于點(diǎn)C

∴PC⊥AN

∵DF⊥AN

∴PC//DF

∴∠APC＝∠PDE， ∠EPC＝∠PED

∵PD＝PE

∴∠PED＝∠PDE

∴∠APC＝∠EPC，即PC平分∠APE

（2）作PH⊥DE于H，如圖：

∵PD＝PE，DE＝2EF

∴DH＝HE＝EF＝HF＝PC＝PD

∴∠DPH＝30°

∵PH//AF

∴∠PAC＝∠DPH＝30°

（3）①當(dāng)DQ＝QE時(shí)，如圖1

連接PQ，可證得PQ//AB

∴∠PDQ＝∠DQP＝∠DBA

∴AD＝AB＝8

∵設(shè)PC＝r，AP＝3r

∴AD＝4r

∴4r＝8

∴r＝2

∴AP＝3r＝6

②當(dāng)DE＝QE時(shí)， 記⊙P與AD的另一交點(diǎn)為K，連接KE，如圖：

則∠QDE＝∠EQD＝∠DKE＝∠DAF

在Rt△ADF中，DF＝AD＝r

AF＝DF＝r

在Rt△DBF中，BF＝DF＝r

AB＝AF－BF＝r＝8

r＝，AP＝3r＝

③當(dāng)DQ＝DE時(shí)，連接QK連接QE交AD于I，作QG⊥KE于點(diǎn)G，如圖：

則∠GQE＝∠IKE＝∠A

在Rt△QGE中，設(shè)GE＝2x，則QE＝3GE＝6x，IE＝3x

QG＝GE＝x

則KG＝KE－EG＝7x

tan∠QKG＝＝，

∵∠BDF＝∠QKE

∴ tan∠BDF＝ tan∠QKE，BF＝DF＝

AB＝AF＋BF＝＝8，

r＝，AP＝3r＝

故答案是：（1）證明見解析；（2）∠PAC＝30°；（3）存在，AP的長(zhǎng)為6或或