Question

如圖，已知AC切⊙O于A，AB為直徑，C為⊙O外一點(diǎn)，BC交⊙O于點(diǎn)D，AC=6，BD=5，連接AD．
（1）證明：△CAD∽△CBA；（2）求線段DC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得到△CAD∽△CBA；
（2）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求得CD的長(zhǎng)．

解答：證明：（1）∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
又∵CA是切線，
∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°．
∴∠BAC=∠CDA=90°．
又∵∠BCA=∠DCA，
∴△CAD∽△CBA．

（2）由（1）知△CAD∽△CBA，
∴

DC

CA

=

AC

CB

．
設(shè)DC=x，
則

x

6

=

6

x+5

，
即x²+5x-36=0，
解得x=4或x=-9（舍去），
∴CD的長(zhǎng)為4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定及切線的性質(zhì)的理解及運(yùn)用，同時(shí)也考查了因式分解法解一元二次方程．