Question

（2013•平谷區(qū)一模）（1）如圖（1），△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且BD=CE，連接AE、CD相交于點(diǎn)P．請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠APD的度數(shù)；

60°

（2）如圖（2），Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分別是AB、BC上的點(diǎn)，且AM=BC，BM=CN，連接AN、CM相交于點(diǎn)P．請(qǐng)你猜想∠APM=

45

°，并寫出你的推理過(guò)程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠B=∠ACE=60°，AC=BC，證△ACE≌△CDB，推出∠BCD=∠CAE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；
（2）過(guò)A作AK⊥AB的垂線，在其上截取AK=CN=MB，連KM，KC，證△KAM≌△MBC，推出KM=MC，求出∠KMC=90°，推出四邊形AKCN是平行四邊形，推出KC∥AN，根據(jù)平行線性質(zhì)求出即可．

解答：（1）解：
∵△ABC是等邊三角形，
∴△B=∠ACE=60°，AC=BC，
在△AEC和△CDB中，

AC=BC ∠ACE=∠B CE=BD

，
∴△ACE≌△CDB（ASA），
∴∠BCD=∠CAE，
∴∠APD=∠CAE+∠ACD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，
故答案為：60°．

（2）解：過(guò)A作AK⊥AB的垂線，在其上截取AK=CN=MB，連KM，KC，
則∠KAM=∠MBC=90°，
∵在△KAM和△MBC中

AM=BC ∠KAM=∠MBC AK=BM

∴△KAM≌△MBC（SAS），
∴KM=CM，∠AMK=∠MCB，
∵∠CMB+∠MCB=90°，
∴∠CMB+∠AMK=90°
∴∠KMC=90°，
∴△KMC為等腰直角三角形，
∴∠MCK=45°，
又∵∠KAM=∠B=90°，AK=CN，
∴AK∥CN，
∴四邊形ANCK是平行四邊形，
∴KC∥AN，
∴∠APM=∠KCM=45°，
故答案為：45．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，有一定的難度．