Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中B（﹣1，0），A（0，m），m＞0，將線段AB線繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得BC，AC的中點為D點．

（1）m＝2時，畫圖并直接寫出D點的坐標(biāo)　 　；

（2）若雙曲線（x＜0）過C，D兩點，求反比例的解析式；

（3）在（2）的條件下，點P在C點左側(cè)，且在雙曲線上，以CP為邊長畫正方形CPEF，且點E在x軸上，求P點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）見解析，；（2）；（3）見解析，點P坐標(biāo)為（﹣2﹣2，2﹣2）

【解析】

（1）過點C作CM⊥x軸，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝BC，∠ABC＝90°，由“AAS”可證△ABO≌△BCM，可得AO＝BM＝m，BO＝CM＝1，可得點C坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式可求點D坐標(biāo)；

（2）先求點C，點D坐標(biāo)，代入解析式可求反比例函數(shù)的解析式；

（3）過點P作PQ⊥BE，過點C作CD⊥PQ，由“AAS”可證△CDP≌△PQE，可得PD＝EQ，CD＝PQ，由點P（x，y）（x＜0），點C坐標(biāo)（4，1），可得y＝4x，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得xy＝4，可求x，y的值，即可求P點坐標(biāo)．

解：（1）過點C作CM⊥x軸，

∵將線段AB線繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)90°

∴AB＝BC，∠ABC＝90°

∴∠ABO+∠CBM＝90°

∵∠AOB＝90°，

∴∠ABO+∠BAO＝90°

∴∠CBM＝∠BAO，且BC＝AB，∠CMB＝∠AOB＝90°

∴△ABO≌△BCM（AAS）

∴AO＝BM＝m，BO＝CM＝1

∵m＝2

∴MO＝3，

∴點C（﹣3，1），且點A（0，2），AC的中點為D點．

∴點D坐標(biāo)為（），

故答案為：（）；

（2）由（1）可得：AO＝BM＝m，BO＝CM＝1

∴MO＝1+m，

∴點C（﹣1﹣m，1），且點A（0，m），AC的中點為D點．

∴點D坐標(biāo)（）

∵雙曲線y＝（x＜0）過C，D兩點，

∴1×（﹣1﹣m）＝

∴m＝3，點C坐標(biāo)（﹣4，1）

∴k＝﹣4，

∴雙曲線解析式：；

（3）如圖，過點P作PQ⊥BE，過點C作CD⊥PQ，

設(shè)點P（x，y）（x＜0）

∵四邊形CPEF是正方形，

∴CP＝PE，

∵PQ⊥BE，CD⊥PQ，

∴∠PEB+∠EPQ＝90°，∠EPQ+∠CPQ＝90°

∴∠CPQ＝∠PEB，且PC＝PE，∠CDP＝∠PQE＝90°

∴△CDP≌△PQE（AAS）

∴PD＝EQ，CD＝PQ，

∵點P（x，y）（x＜0），點C坐標(biāo)（﹣4，1）

∴CD＝﹣4﹣x＝PQ，PD＝y﹣1＝EQ，PQ＝y，BQ＝﹣x，

∴y＝﹣4﹣x，

∵點P在C點左側(cè)，且在雙曲線上，

∴xy＝﹣4

∴x（﹣4﹣x）＝﹣4

∴x1＝，x2＝（不合題意），

∴y＝﹣4﹣x＝

∴點P坐標(biāo)為（，）.