Question

已知反比例函數(shù)y1=

k

x

的圖象與一次函數(shù)y₂=kx+m的圖象相交于A（2，1）．
（1）分別求出這兩個(gè)函數(shù)的解析式，并在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的大致圖象；
（2）試判斷P（-1，5）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q是否在一次函數(shù)y₂=kx+m的圖象上，若在請(qǐng)求出S_△APQ；若不在，請(qǐng)求出直線AQ的解析式；
（3）若一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為B，且B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，請(qǐng)根據(jù)圖象回答：①當(dāng)x取何值時(shí)，y₁＞y₂；②當(dāng)x取何值時(shí)，y₁•y₂＞0．

Answer 1

分析：（1）把A（2，1）代入反比例函數(shù)y1=

k

x

與一次函數(shù)y₂=kx+m的解析式即可求出k、m的值，可得到解析式，再畫出函數(shù)圖象即可；
（2）首先根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)解析式計(jì)算當(dāng)x=-1時(shí)，y的值，即可判斷出Q點(diǎn)是否在一次函數(shù)圖象上；根據(jù)P、Q、A點(diǎn)坐標(biāo)可算出△APQ的面積；
（3）首先計(jì)算出b點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合圖象可以直接寫出答案．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y1=

k

x

的圖象與一次函數(shù)y₂=kx+m的圖象相交于A（2，1），
∴k=2×1=2，k×2+m=1，
∴k=2，m=-3，
∴y1=

2

x

，y₂=2x-3；

（2）∵點(diǎn)P（-1，5）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，-5）
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=2×（-1）-3=-5
∴點(diǎn)Q在直線y₂=2x-3上，
∴S_△APQ=

1

2

×10×3=15；

（3）∵B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，
∴-4x=2，
x=-

1

2

，
∴雙曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)A（2，1）、B（-

1

2

，-4），
①當(dāng)x＜-

1

2

或0＜x＜2時(shí)，y₁＞y₂，
②∵直線AB與x軸交于點(diǎn)（

3

2

，0），
∴當(dāng)x＞

3

2

或x＜0時(shí)，y₁•y₂＞0．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式，畫反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象，判斷點(diǎn)是否在函數(shù)圖象上，利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．已知點(diǎn)在圖象上，那么點(diǎn)一定滿足這個(gè)函數(shù)解析式，反過來如果這點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，那么這個(gè)點(diǎn)也一定在函數(shù)圖象上．還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大�。畬�數(shù)形結(jié)合在一起，是分析解決問題的一種好方法．