Question

如圖，⊙O的半徑為1，正方形ABCD頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，0），頂點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動．
（1）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到與點(diǎn)A、O在同一條直線上時，試證明直線CD與⊙O相切；
（2）當(dāng)直線CD與⊙O相切時，求CD所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，正方形ABCD的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）易得∠ODC=90°，且CD與圓相交于點(diǎn)D，故直線CD與⊙O相切；
（2）分兩種情況，①D₁點(diǎn)在第二象限時，②D₂點(diǎn)在第四象限時，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得比例關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)可得CD所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系；
（3）設(shè)D（x，y₀），有S=

1

2

BD²=

1

2

（26-10x）=13-5x；再根據(jù)x的范圍可得面積的最大最小值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD⊥CD，
∵A、O、D在同一條直線上，
∴∠ODC=90°，
∴直線CD與⊙O相切．

（2）解：直線CD與⊙O相切分兩種情況：
①如圖1，設(shè)D₁點(diǎn)在第二象限時，
過D₁作D₁E₁⊥x軸于點(diǎn)E₁，設(shè)此時的正方形的邊長為a，
∴（a-1）²+a²=5²，
∴a=4或a=-3（舍去），
∵Rt△BOA∽Rt△D₁OE₁
∴

OE1

OA

=

D1E1

BA

=

OD1

OB

，
∴OE1=

3

5

，D1E1=

4

5

，
∴D1(-

3

5

，

4

5

)．
∴直線OD的函數(shù)關(guān)系式為y=-

4

3

x．
∵AD₁⊥CD₁，
∴設(shè)直線CD₁的解析式為y=

3

4

x+b，
把D₁（-

3

5

，

4

5

）代入解析式得b=

5

4

；
∴函數(shù)解析式為y=

3

4

x+

5

4

．
②如圖2，設(shè)D₂點(diǎn)在第四象限時，過D₂作D₂E₂⊥x軸于點(diǎn)E₂，
設(shè)此時的正方形的邊長為b，則（b+1）²+b²=5²，
解得b=3或b=-4（舍去）．
∵Rt△BOA∽Rt△D₂OE₂，
∴

OE2

OA

=

D2E2

BA

=

OD2

OB

，
∴OE2=

4

5

，D2E2=

3

5

，
∴D2(

4

5

，-

3

5

)，
∴直線OD的函數(shù)關(guān)系式為y=-

3

4

x．
∵AD₂⊥CD₂，
∴設(shè)直線CD₂的解析式為y=

4

3

x+b，
把D₂（

4

5

，-

3

5

）代入解析式得b=-

5

3

；
∴函數(shù)解析式為y=

4

3

x-

5

3

．

（3）解：設(shè)D（x，y₀），
∴y0=±

1-x2

，
∵B（5，0），
∴BD²=（5-x）²+（1-x²）=26-10x，
∴S=

1

2

BD²=

1

2

（26-10x）=13-5x，
∵-1≤x≤1，
∴S_最大值=13+5=18，S_最小值=13-5=8．

點(diǎn)評：本題難度較大，要求學(xué)生有較強(qiáng)的綜合分析能力及數(shù)形結(jié)合分析解決問題的能力．