Question

【題目】瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)：簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E之間滿足一種有趣的關(guān)系：V+F﹣E＝2，這個關(guān)系式被稱為歐拉公式．比如：正二十面體（如右圖），是由20個等邊三角形所組成的正多面體，已知每個頂點(diǎn)處有5條棱，則可以通過歐拉公式算出正二十面體的頂點(diǎn)為_____個．那么一個多面體的每個面都是五邊形，每個頂點(diǎn)引出的棱都有3條，它是一個_____面體．

Answer 1

【答案】12． 12．

【解析】

①設(shè)出正二十面體的頂點(diǎn)為n個，則棱有條.利用歐拉公式構(gòu)建方程即可解決問題.②設(shè)頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F、每個點(diǎn)都屬于三個面，每條邊都屬于兩個面，利用歐拉公式構(gòu)建方程即可解決問題.

解：①設(shè)出正二十面體的頂點(diǎn)為n個，則棱有條．

由題意F＝20，

∴n+10﹣＝2，

解得n＝12．

②設(shè)頂點(diǎn)數(shù)V，棱數(shù)E，面數(shù)F，每個點(diǎn)屬于三個面，每條邊屬于兩個面

由每個面都是五邊形，則就有E＝，V＝

由歐拉公式：F+V﹣E＝2，代入：

F+﹣＝2

化簡整理：F＝12

所以：E＝30，V＝20

即多面體是12面體．棱數(shù)是30，面數(shù)是12，

故答案為12，12.