Question

如圖①，二次函數(shù)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)C，與x軸的交于A（1，0）、B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D（0，3）．

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）如圖②，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最��？若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖③，連接AC交y軸于M，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOM相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，將A（1，0）、B（-3，0）、D（0，3）代入，

得
即所求拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3．

（2）如圖④，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱，
在x軸上取一點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF=HI…①
設(shè)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=kx+b（k≠0），
∵點(diǎn)E在拋物線上且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-2，將x=-2，代入拋物線y=-x²-2x+3，得y=-（-2）²-2×（-2）+3=3
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-2，3）…
又∵拋物線y=-x²-2x+3圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（1，0）、B（-3，0）、
D（0，3），所以頂點(diǎn)C（-1，4）
∴拋物線的對稱軸直線PQ為：直線x=-1，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱，GD=GE…②
分別將點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)E（-2，3）
代入y=kx+b，得：解得：
過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：
y=-x+1
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=1
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）…
∴|DF|=2…③
又∵點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱，
∴點(diǎn)I坐標(biāo)為（0，-1）
∴…④
又∵要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個(gè)定值，
∴只要使DG+GH+HI最小即可         …
由圖形的對稱性和①、②、③，可知，
DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG+GH+HI最小
設(shè)過E（-2，3）、I（0，-1）兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為：y=k₁x+b₁（k₁≠0），
分別將點(diǎn)E（-2，3）、點(diǎn)I（0，-1）代入y=k₁x+b₁，得：解得：
過I、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=-2x-1
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=1；當(dāng)y=0時(shí)，x=-；
∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（-1，1），點(diǎn)H坐標(biāo)為（-，0）
∴四邊形DFHG的周長最小為：DF+DG+GH+HF=DF+EI
由③和④，可知：
    DF+EI=
∴四邊形DFHG的周長最小為．…

（3）如圖⑤，由（2）可知，點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（-1，4），
設(shè)過A（1，0），點(diǎn)C（-1，4）兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為：y=k₂x+b₂，
得：
解得：，
過A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=-2x+2，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即M的坐標(biāo)為（0，2）；
由圖可知，△AOM為直角三角形，且，
要使，△AOM與△PCM相似，只要使△PCM為直角三角形，且兩直角邊之比為1：2即可，
設(shè)P（a，0），CM=，且∠CPM不可能為90°時(shí)，因此可分兩種情況討論；    
①當(dāng)∠CMP=90°時(shí)，CM=，
若，則，
可求的P（-4，0），
則CP=5，CP²=CM²+PM²，即P（-4，0）成立，
若，由圖可判斷不成立；…
②當(dāng)∠PCM=90°時(shí)，CM=，若，則，
可求出P（-3，0），則PM=，
顯然不成立，
若，則，更不可能成立．
綜上所述，存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOM相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0）．
分析：（1）直接利用三點(diǎn)式求出二次函數(shù)的解析式；
（2）若四邊形DFHG的周長最小，應(yīng)將邊長進(jìn)行轉(zhuǎn)換，利用對稱性，要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個(gè)定值，只要使DG+GH+HI最小即可．由圖形的對稱性可知，HF=HI，GD=GE，DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG+GH+HI最小，即，DF+EI=
即邊形DFHG的周長最小為．
（3）要使△AOM與△PCM相似，只要使△PCM為直角三角形，且兩直角邊之比為1：2即可，設(shè)P（a，0），CM=，且∠CPM不可能為90°時(shí)，因此可分兩種情況討論，①當(dāng)∠CMP=90°時(shí)，CM=，若，則，可求的P（-4，0），則CP=5，CP²=CM²+PM²，即P（-4，0）成立，若，由圖可判斷不成立； ②當(dāng)∠PCM=90°時(shí)，CM=，若，則，可求出P（-3，0），則PM=，顯然不成立，若，則，更不可能成立．即求出以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOM相似的P的坐標(biāo)（-4，0）．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用，對稱性的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)與判斷，直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，存在性的問題，特別是存在性問題更是中考的常見考點(diǎn)．