Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC=6，對(duì)角線OB所在直線的函數(shù)解析式為y=

3

4

x．
（1）直接寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若D是BC邊上的點(diǎn)，過D作DE⊥OB于E，已知DE=3.6．
①求出CD的長(zhǎng)；
②以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作⊙C、試問在對(duì)角線OB上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P為圓心的⊙P與⊙C、x軸都相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意，點(diǎn)C在y軸上且OC=6，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）；
（2）①依題意可得∠OCB=90°，利用勾股定理求出OB的值，然后證明△COB∽△EDB，利用線段比求出CD的長(zhǎng)；
②過P作PM⊥OA于M、PN⊥OC于N，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，得出OM=NP=m，ON=MP=

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m，CN=6-

3

4

m．當(dāng)⊙P與⊙C外切、與x軸相切時(shí)，PC=

3

4

m+2，然后利用勾股定理列等式解出m值．當(dāng)⊙P與⊙C內(nèi)切、與x軸相切時(shí)，m²-6m+32=0得出△=6²-4×1×32＜0所以此一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解．選出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）C（0，6）；

（2）①在矩形OABC中，∠OCB=90°，
∵OA=BC=8；
∴OB=

OC2+BC2

=10，
在△COB和△EDB中，∠CBO=∠EBD，∠OCB=90°=∠DEB，
∴△COB∽△EDB，
∴

DE

OC

=

BD

BO

，
CD=2；
②如圖，過P作PM⊥OA于M、PN⊥OC于N，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，
∵點(diǎn)P在直線y=

3

4

x上，
∴OM=NP=m，ON=MP=

3

4

m，
CN=6-

3

4

m，
當(dāng)⊙P與⊙C外切、與x軸相切時(shí)，PC=

3

4

m+2，
在Rt△PCN中，PN²+CN²=PC²m2+(6-

3

4

m)2=(

3

4

m+2)2，
∴m²-12m+32=0，
解得m₁=4，m₂=8，
∴P₁（4，3），P₂（8，6），
同理，當(dāng)⊙P與⊙C內(nèi)切、與x軸相切時(shí)，m2+(6-

3

4

m)2=(

3

4

m-2)2m²-6m+32=0，
∵△=6²-4×1×32＜0，
∴此一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解，
使⊙P與⊙C內(nèi)切、與x軸相切的點(diǎn)P不存在．
∴符合條件的點(diǎn)P是P₁（4，3），P₂（8，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查的是一次函數(shù)與圓相結(jié)合的運(yùn)用，難度較大．