Question

（2013•牡丹江）在半徑為13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距離為7，若AB=24，則CD的長(zhǎng)為（　�。�

• A．10
• B．4

  30

• C．10或4

  30

• D．10或2

  165

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，由于AB和CD的位置不能確定，故應(yīng)分AB與CD在圓心O的同側(cè)和AB與CD在圓心O的異側(cè)兩種情況進(jìn)行討論．

解答：解：當(dāng)AB與CD在圓心O的同側(cè)時(shí)，如圖1所示：
過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，連接OA，OC，
∵AB∥CD，OF⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×24=12，
在Rt△AOE中，
OE=

OA2-AE2

=

132-122

=5，
∴OF=OE+EF=5+7=12，
在Rt△OCF中，CF=

OC2-OF2

=

132-122

=5，
∴CD=2CF=2×5=10；
當(dāng)AB與CD在圓心O的異側(cè)時(shí)，如圖2所示：
過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，反向延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，連接OA，OC，
∵AB∥CD，OF⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×24=12，
在Rt△AOE中，
OE=

OA2-AE2

=

132-122

=5，
∴OF=EF-OE=7-5=2，
在Rt△OCF中，CF=

OC2-OF2

=

132-22

=

165

，
∴CD=2CF=2×

165

=2

165

．
故CD的長(zhǎng)為10或2

165

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，在解答此類題目時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．