Question

【題目】若一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)圖形的不同的邊上，則稱(chēng)此三角形為該圖形的內(nèi)接三角形．

（1）在圖①中畫(huà)出△ABC的一個(gè)內(nèi)接直角三角形；

（2）如圖②，已知△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝8，AD為BC邊上的高，探究以D為一個(gè)頂點(diǎn)作△ABC的內(nèi)接三角形，其周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖③，△ABC為等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝６，試探究：△ABC的內(nèi)接等腰直角三角形的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）存在，（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)要求畫(huà)圖即可，體現(xiàn)內(nèi)接的特點(diǎn)；

（2）如解圖②，分別作點(diǎn)D關(guān)于AB、AC的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，連接，交AB、AC于點(diǎn)E、F，

連接DE、DF，則△DEF即為周長(zhǎng)最小的內(nèi)接三角形，然后過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求解即可；

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在斜邊AB上時(shí)；②當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在直角邊上時(shí)．

試題解析：（1）如解圖①，△DEF為所求作的三角形（答案不唯一）；

（2）存在．

如解圖②，分別作點(diǎn)D關(guān)于AB、AC的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，連接，交AB、AC于點(diǎn)E、F，

連接DE、DF，則△DEF即為周長(zhǎng)最小的內(nèi)接三角形，

的長(zhǎng)即為最小周長(zhǎng)．

∵AB＝８，∠Ｂ＝45°，AD⊥BC，∴AD＝AB·si45°＝．

∵點(diǎn)D關(guān)于AB、AC的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為、，

∴AD′＝＝AD＝，∠＝2∠BAC＝120°,

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H，

在Rt△中，∠＝30°,

∴＝·cos30°＝,

∴△DEF周長(zhǎng)的最小值為；

（3）分類(lèi)討論：

①當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在斜邊AB上時(shí)，

如解圖③，∵∠ACB＝∠EDF＝90°，

以EF為直徑畫(huà)圓，則點(diǎn)Ｃ、Ｄ在圓上，

連接CD，∵DE＝DF，

∴∠ACD＝∠BCD，又∵AC＝BC，

∴CD是AB邊上的中線，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)D作DE′⊥AC，DF′⊥BC，此時(shí)，DE′、DF′最短．

當(dāng)點(diǎn)E與E′重合，點(diǎn)F與F′重合時(shí)，△DEF的面積最小，

此時(shí)四邊形CEDF為矩形．

設(shè)DE＝x，則BC＝2DE＝2x＝6，

∴x＝3，∴S最小＝；

②當(dāng)內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在直角邊上時(shí)，如解圖④，

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)DG＝y，GF＝x，易證△CDE≌△GFD，

∴CD＝FG＝x，

∵∠B＝45°，FG⊥BC，

∴GB＝GF＝x，

∴BC＝CD＋DG＋GB＝2x＋y＝6，即y＝6－2x．

故當(dāng)x=時(shí)，

∵,

∴△DEF的面積存在最小值，其最小值為．