Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點D，AM⊥CD于點M，BN⊥CD于N．

（1）求證：∠ADC=∠ABD；

（2）求證：AD2=AMAB；

（3）若AM=，sin∠ABD=，求線段BN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由切線的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)果；

（2）由已知條件證得△ADM∽△ABD，即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理代入數(shù)值即可得到結(jié)果．

（1）證明：連接OD，

∵直線CD切⊙O于點D，

∴∠CDO=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵OB=OD，

∴∠3=∠4，

∴∠ADC=∠ABD；

（2）證明：∵AM⊥CD，

∴∠AMD=∠ADB=90°，

∵∠1=∠4，

∴△ADM∽△ABD，

∴，

∴AD2=AMAB；

（3）解：∵sin∠ABD=，

∴sin∠1=，

∵AM=，

∴AD=6，

∴AB=10，

∴BD==8，

∵BN⊥CD，

∴∠BND=90°，

∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，

∴∠DBN=∠1，

∴sin∠NBD=，

∴DN=，

∴BN==．