Question

24、如圖，已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠BDE=90°，P是AE的中點，連接PC，PD．
（1）在圖中畫出△PAC關于點P成中心對稱的圖形；
（2）判斷PC與PD的關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用圖象關于點P成中心對稱時，對應點到對稱中心的距離相等，得到P″P=CP，連接P″E，即得出符合要求的圖形；
（2）由△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠BDE=90°，P是AE的中點，以及（1）中結論，得出PD是等腰直角△CDP″斜邊上的中線和高線，即可得出結論．

解答：解：（1）如圖所示，延長CP使得CP=CP″，連接P″E，即可得出所要圖形；
（2）PC=PD，PC⊥PD；
證明：∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠BDE=90°，P是AE的中點，△PAC與△PEP″關于點P成中心對稱的圖形．
∴PC=PP″，AP=PE，∠CDP″=90°，P″E=AC，AC=BC，
∴PD=PC，CD=P″D，
∴PC⊥PD．
故：PC與PD的關系是：PD=PC，PC⊥PD．

點評：此題主要考查了圖形關于某點成中心對稱的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)和它斜邊上中線的性質(zhì)等知識．