Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，把△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在射線CD上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′．那么AA′的長(zhǎng)是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根勾股定理計(jì)算出BC=3，由點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得DC=DB，則∠DCB=∠B，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B=∠B′，CA=CA′=4，AB=A′B′=5，∠ACB=∠A′CB′=90°，則∠B′=∠DCB，得到A′B′∥BC，所以A′B′⊥AC，利用面積法克計(jì)算出CE=，AE=AC-CE=4-=，然后在Rt△A′CE中，利用勾股定理計(jì)算出A′E=，再在Rt△AA′E中利用勾股定理可計(jì)算出AA′．
解答：解：設(shè)AC與A′B′的交點(diǎn)為E，如圖，
∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC==3，
∵點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在射線CD上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′，
∴∠B=∠B′，CA=CA′=4，AB=A′B′=5，∠ACB=∠A′CB′=90°，
∴∠B′=∠DCB，
∴A′B′∥BC，
而∠ACB=90°，
∴A′B′⊥AC，
∵CE•A′B′=A′C•CB′，
∴CE=，
∴AE=AC-CE=4-=
在Rt△A′CE中，A′E==，
在Rt△AA′E中，AA′===．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及勾股定理．