Question

（2011•北塘區(qū)二模）如圖1，在△ACD中，AC=2DC，AD=

5

DC．
（1）求∠C的度數(shù)；
（2）如圖2，延長CA到E，使AE=CD，延長CD到B，使DB=CE，AB、ED交于點O．求證：∠BOD=45°；
（3）如圖3，點F、G分別是AC、BC上的動點，且S_△CFG=S_{四邊形AFGB}，作FM∥BC，GN∥AC，分別交AB于點M、N，線段AM、MN、NB能否始終組成直角三角形？給出你的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理逆定理解答即可；
（2）作DP⊥AB于P，EQ⊥AB與Q，根據(jù)在同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行可得DP∥EQ從而得到△OPD和△OQE相似，設(shè)CD=x，分別表示出AC、BD、BC、DE，再求出DP、EQ，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OD、OE的比再求出OD，最后根據(jù)∠BOD的正弦列式求解即可；
（3）延長FM、GN，交于點H，可得矩形CFHG，然后求出S_△AFM+S_△BGN=S_△HMN，再根據(jù)△AFM∽△NGB∽△NHM利用相似三角形面積的比等于相似比的平方求出S_△AFM：S_△BGN：S_△HMN=AM²：BN²：MN²，然后設(shè)S_△AFM=kAM²，再表示出另兩個三角形的面積，列式整理并利用勾股定理逆定理證明．

解答：解：（1）∵AC=2DC，
∴AC²+DC²=5DC²，
∵AD=

5

DC，
∴AD²=5DC²，
∴AC²+DC²=AD²，
∴△ADC是直角三角形，且∠C=90°；

（2）作DP⊥AB于P，EQ⊥AB與Q，則DP∥EQ，
∴△OPD∽△OQE，
不妨設(shè)CD=x（x＞0），則AC=2x，BD=CE=AC+AE=2x+x=3x，BC=BD+CD=CE+CD=3x+x=4x，
DE=

CD2+CE2

=

x2+(3x)2

=

10

x，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

(2x)2+(4x)2

=2

5

x，
∴DP=BD•sin∠B=3x•

2x

2 5 x

=

3 5

5

x，
EQ=AE•cos∠AEQ=AE•cos∠B=x•

4x

2 5 x

=

2 5

5

x，
∴

OD

OE

=

DP

EQ

=

3

2

，
∴OD=

3

5

DE=

3 10

5

，
∴在Rt△OPD中，sin∠BOD=

DP

OD

=

2

2

，
∴∠BOD=45°；

（3）延長FM、GN，交于點H，可得矩形CFHG，
則S_△HFG=S_△CFG=S_{四邊形AFGB}，于是S_△AFM+S_△BGN=S_△HMN，
而△AFM∽△NGB∽△NHM，
∵S_△AFM：S_△BGN：S_△HMN=AM²：BN²：MN²，
設(shè)S_△AFM=kAM²，S_△BGN=kBN²，S_△HMN=kMN²，（k＞0），
∴kAM²+kBN²=kMN²，即AM²+BN²=MN²，
故線段AM、MN、NB能始終組成直角三角形．

點評：本題是相似形綜合題，主要利用了勾股定理，勾股定理逆定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，（2）作輔助線構(gòu)造出直角三角形并用CD的長度分別表示出各線段是解題的關(guān)鍵，（3）作輔助線構(gòu)造出相似三角形，然后利用相似三角形面積的比等于相似比的平方求解，解法巧妙靈活．