Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)B在拋物線y=ax²+ax-2上．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（-3，1）

；拋物線的解析式為

y=

1

2

x²+

1

2

x-2

（2）設(shè)（1）中拋物線的頂點(diǎn)為D，求△DBC的面積；
（3）將三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)△AB′C′的位置．請(qǐng)判斷點(diǎn)B′、C′是否在（2）中的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先在直角三角形OAC中，根據(jù)AC=

5

，OC=1來求出OA的長，過B作x軸的垂線，假設(shè)垂足為F，那么△ACO≌△CBH，OA=CF，BF=OC，由此可求出B的坐標(biāo)；將已經(jīng)求出的B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（2）的函數(shù)關(guān)系式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．求△DBC的面積時(shí)，可將△DBC分成△CBE和△DCE兩部分（假設(shè)BD交x軸于E）．可先根據(jù)B，D的坐標(biāo)求出BD所在直線的解析式，進(jìn)而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，那么可求出CE的長，然后以B，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值分別作為△BCE和△DCE的高，即可求出△DBC的面積；
（3）本題的關(guān)鍵是求出B′，C′兩點(diǎn)的坐標(biāo)．過點(diǎn)B′作B′M⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)C″作C″P⊥y軸于點(diǎn)P．然后仿照（1）中求坐標(biāo)時(shí)的方法，通過證Rt△AB′M≌Rt△BAN來得出B′的坐標(biāo)．同理可得出C′的坐標(biāo)．然后將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中，進(jìn)而可判斷出兩點(diǎn)是否在拋物線上．

解答：解：（1）∵AC=

5

，CO=1，
∴AO=

5-1

=2，
如圖1，作BF⊥OC，
∵∠AOC=∠BFC，∠CAO=∠BCF，
∴∠ACO=∠CBF，
在△BFC與△COA中，
∵

∠CAO=∠BCF AC=BC ∠ACO=∠CBF

∴△BFC≌△COA，
∴CF=AO=2，
∴B（-3，1）
將B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2；
故答案為：（-3，1），y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（2）∵拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)D（-

1

2

，-

17

8

），
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b（k≠0）
∴

- 1 2 k+b=- 17 8 -3k+b=1

，解得

k=- 5 4 b=- 11 4

，
∴BD的關(guān)系式為y=-

5

4

x-

11

4

．
∵直線BD和x軸交點(diǎn)為E，
∴點(diǎn)E（-

11

5

，0），CE=

6

5

，
∴S_△DBC=S_CBE+S_CED=

1

2

×

6

5

×1+

1

2

×

6

5

×

17

8

=

1

2

×

6

5

×（1+

17

8

）=

15

8

；

（3）如圖2，過點(diǎn)B′作B′M⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N，
過點(diǎn)C″作C″P⊥y軸于點(diǎn)P，
在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵∠AMB'=∠ANB=90°，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴∠ABN=∠B′AM，
在Rt△AB′M與Rt△BAN．
∵

∠AB′M=∠BAN AB=AB′ ∠ABN=∠B′AM

，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得點(diǎn)C′（2，1）；
將點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo)代入y=x²+x-2，可知點(diǎn)B′、C′在拋物線上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，重點(diǎn)考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形全等、圖形旋轉(zhuǎn)變換等重要知識(shí)點(diǎn)；綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．