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        1. 如圖1,已知拋物線y=ax2-2ax+b經(jīng)過梯形OABC的四個頂點,若BC=10,梯形OABC的面積為18.
          (1)求拋物線解析式;
          (2)將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移,平移后的兩條直線分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1,得到如圖2的梯形O1A1B1C1.設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S,A1、B1的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代數(shù)式表示x2-x1,并求出當S=36時點A1的坐標;
          (3)如圖3,設(shè)圖1中點D坐標為(1,3),M為拋物線的頂點,動點P從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動,動點Q從點D出發(fā),以與點P相同的速度沿著線段DM運動.P、Q兩點同時出發(fā),當點Q到達點M時,P、Q兩點同時停止運動.設(shè)P、Q兩點的運動時間為t,是否存在某一時刻t,使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)根據(jù)拋物線y=ax2-2ax+b,可知對稱軸方程,從而得到點A的坐標;再根據(jù)BC=10,梯形OABC的面積為18,可求B,C的坐標,再將O、B兩點的坐標代入y=ax2-2ax+b,運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
          (2)在兩條直線平移的過程中,梯形的上下底發(fā)生了改變,但是梯形的高沒有變化,仍為3,即y2-y1=3,根據(jù)拋物線的解析式,用x1、x2表示出y1、y2,然后聯(lián)立y2-y1=3,可得到第一個關(guān)于x1、x2的關(guān)系式①;在兩條直線平移過程中,拋物線的對稱軸沒有變化,用x1、x2以及拋物線的對稱軸的解析式表示出梯形上下底的長,進而得到梯形面積的表達式,這樣得到另外一個x1、x2的關(guān)系式②,聯(lián)立這兩個關(guān)系式,得到關(guān)于(x2-x1)與S的關(guān)系式③,將S=36代入②③的關(guān)系式中,即可列方程組求得x1、x2的值,進而可求出點A1的坐標;
          (3)要解答此題,首先要弄清幾個關(guān)鍵點:
          一、當PQ∥AB時,設(shè)直線AB與拋物線對稱軸的交點為E,可得△DPQ∽△DBE,可用t表示出DP、DQ的長,而E點坐標易求得,根據(jù)相似三角形所得比例線段,即可得到此時t的值即t=
          15
          7
          ;
          二、當P、Q都停止運動時,顯然BC>DM,所以此時t=DM÷1=3
          1
          8

          設(shè)直線PQ與直線AB的交點為F,與x軸的交點為G;假設(shè)直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似.顯然t=
          15
          7
          不合題意,舍去,所以分兩種情況討論:①當0<t<
          15
          7
          時,由題意知△FQE∽△FAG,得∠FGA=∠FEQ,由于BC∥x軸,則∠DPQ=∠FGA=∠FEQ,由此可證得△DPQ∽△DEB,DB、DE的長已求得,可用t表示出DP、DQ的長,根據(jù)相似三角形所得比例線段,即可求得此時t的值;
          ②當
          15
          7
          <t<3
          1
          8
          時,方法同①;
          在求得t的值后,還要根據(jù)各自的取值范圍將不合題意的解舍去.
          解答:解:(1)∵y=ax2-2ax+b=a(x-1)2-a+b,
          ∴對稱軸為:直線x=1,
          ∴點A的坐標為(2,0);
          ∵BC=10,梯形OABC的面積為18,
          ∴梯形OABC的高為:18×2÷(10+2)=3,
          ∴B(10÷2+1,3),即B(6,3),
          C(1-10÷2,3),即C(-4,3).
          將O(0,0),B(6,3)代入y=ax2-2ax+b,
          b=0
          36a-12a+b=3
          ,
          解得
          a=
          1
          8
          b=0

          ∴拋物線解析式為:y=
          1
          8
          x2-
          1
          4
          x;

          (2)由題意得y2-y1=3,y2-y1=
          1
          8
          x22-
          1
          4
          x2-
          1
          8
          x12+
          1
          4
          x1=3,
          得:(x2-x1)[
          1
          8
          (x2+x1)-
          1
          4
          ]=3①,
          S=
          2(x1-1+x2-1)×3
          2
          =3(x1+x2)-6,
          得:x1+x2=
          S
          3
          +2②,
          把②代入①并整理得:x2-x1=
          72
          s
          (S>0),
          當s=36時,
          x2+x1=14
          x2-x1=2
          ,
          解得:
          x1=6
          x2=8

          把x1=6代入拋物線解析式,得y1=
          1
          8
          ×62-
          1
          4
          ×6=3,
          ∴點A1(6,3);

          (3)存在t=
          20
          7
          秒,可使直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似.理由如下:
          易知直線AB的解析式為y=
          3
          4
          x-
          3
          2
          ,可得直線AB與對稱軸的交點E的坐標為(1,-
          3
          4
          ),
          ∴BD=5,DE=
          15
          4
          ,DP=5-t,DQ=t,
          當PQ∥AB時,
          DQ
          DE
          =
          DP
          DB
          ,
          t
          15
          4
          =
          5-t
          5
          ,解得t=
          15
          7

          設(shè)直線PQ與直線AB、x軸的交點分別為點F、G.假設(shè)直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似.下面分兩種情況討論:
          ①當0<t<
          15
          7
          時,如圖3-1;
          ∵△FQE∽△FAG,
          ∴∠FGA=∠FEQ,
          ∴∠DPQ=∠DEB;
          易得△DPQ∽△DEB,
          DQ
          DB
          =
          DP
          DE
          ,即
          t
          5
          =
          5-t
          15
          4
          ,
          解得t=
          20
          7
          15
          7
          ,
          ∴t=
          20
          7
          不合題意,舍去;
          ②當
          15
          7
          <t<3
          1
          8
          時,如圖3-2;
          ∵△FAG∽△FQE,
          ∴∠FAG=∠FQE,
          ∵∠DQP=∠FQE,∠FAG=∠EBD,
          ∴∠DQP=∠DBE,
          易得△DPQ∽△DEB,
          DQ
          DB
          =
          DP
          DE
          ,即
          t
          5
          =
          5-t
          15
          4
          ,
          解得t=
          20
          7
          ,符合題意.
          綜上,可知當t=
          20
          7
          秒時,直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似.
          點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合類試題,涉及到:二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的性質(zhì)、圖形面積的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識;在(3)題中能夠正確地畫出圖形,并準確地找到所求的三角形是解答此題的關(guān)鍵.
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          (1)此拋物線的解析式;
          (2)如圖2,若點P為所求拋物線上的一動點,試判斷以點P為圓心,PB為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系,并說明理由.
          (3)如圖2,設(shè)點P在拋物線上且與點A不重合,直線PB與拋物線的另一個交點為Q,過點P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為N、M,連接PO、QO.求證:△QMO∽△PNO.
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          如圖1,已知拋物線y=-x2+b x+c經(jīng)過點A(1,0),B(-3,0)兩點,且與y軸交于點C.
          (1)求b,c的值.
          (2)在第二象限的拋物線上,是否存在一點P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出點P的坐標及△PBC的面積最大值;若不存在,請說明理由.
          (3)如圖2,點E為線段BC上一個動點(不與B,C重合),經(jīng)過B、E、O三點的圓與過點B且垂直于BC的直線交于點F,當△OEF面積取得最小值時,求點E坐標.

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          (2013•南沙區(qū)一模)如圖1,已知拋物線y=
          1
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          x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,且OB=2OA=4.
          (1)求該拋物線的函數(shù)表達式;
          (2)設(shè)P是(1)中拋物線上的一個動點,以P為圓心,R為半徑作⊙P,求當⊙P與拋物線的對稱軸l及x軸均相切時點P的坐標.
          (3)動點E從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向終點B運動,動點F從點B出發(fā),以每秒
          2
          個單位長度的速度向終點C運動,過點E作EG∥y軸,交AC于點G(如圖2).若E、F兩點同時出發(fā),運動時間為t.則當t為何值時,△EFG的面積是△ABC的面積的
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          ?

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          如圖1,已知拋物線的頂點為A(O,1),矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上,D、E在x軸上,CF交y軸于點B(0,2),且其面積為8.
          (1)求此拋物線的解析式;
          (2)如圖2,若P點為拋物線上不同于A的一點,連接PB并延長交拋物線于點Q,過點P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為S、R.
          ①求證:PB=PS;
          ②判斷△SBR的形狀.

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