Question

如圖所示，在直線AB上有一點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AE⊥AB，垂足為A，過點(diǎn)B作BF⊥AB，垂足為B，且AE=BC，BF=AC，連接EF．
（1）求證：△AEC≌△BCF；
（2）若AE=2，tan∠CFB=

1

2

，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）由于AE⊥AB，BF⊥AB可以得到∠EAC=∠FBC=90°，而AE=BC，BF=AC，利用邊角邊即可解決問題；
（2）利用（1）的結(jié)論得到BC=2，∠CFB=∠ECA，接著利用三角函數(shù)的定義求出CE，最后利用勾股定理和已知條件即可求解．

解答：（1）證明：∵EA⊥AB，BF⊥AB
∴∠EAC=∠FBC=90°…（1分）
在Rt△EAC與Rt△CBF中，

AE=BC ∠EAC=∠CBF AC=BF

…（3分）
∴Rt△AEC≌Rt△BCF；

（2）解：∵△AEC≌△BCF，
∴AE=2=BC，∠CFB=∠ECA
∴tan∠ECA=

1

2

，
∴2AE=AC=4，
∴EC=CF=2

5

…（7分），
∵∠EAC+∠ECA=90°，∠AEC=∠FCB，
∴∠ECA+∠FCB=90°，
∴∠ECF=90°，
在Rt△ECF中，EC=CF=2

5

，
∴EF=2

10

．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，同時也利用了三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是全等三角形的判定和性質(zhì)．