Question

已知直線y=2x+4與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，y軸上點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），在x軸的正半軸上找一點(diǎn)P，使以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)容易根據(jù)直線的解析式求出，所以O(shè)A、OB的長度也可以求出，而C的坐標(biāo)已知，所以O(shè)C=2，而以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似有兩種情況，其中OC可以和OA對應(yīng)，也可以和OB對應(yīng)，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例就可以求出OP的長度，也就求出了P的坐標(biāo)．

解答：解：如圖，
∵直線y=2x+4，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=4；
當(dāng)y=0時(shí)，x=-2．
∴A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵C的坐標(biāo)為（0，2），
∴OC=2，
若以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，
那么有兩種情況：
①OC和OA對應(yīng)，那么OP和OB對應(yīng)，
∵OA=OC=2，
∴OP=OB=4，
∴P的坐標(biāo)為（4，0）；
②OC和OB對應(yīng)，那么OP和OA對應(yīng)，
∴

OC

OB

=

OP

OA

，
∴OP=1，
∴P的坐標(biāo)為（1，0）．
因此P的坐標(biāo)為（4，0）或（1，0）．
故填空答案：（4，0）或（1，0）．

點(diǎn)評：此題把一次函數(shù)與相似三角形的性質(zhì)與判定相結(jié)合，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用所學(xué)知識的能力，是一道綜合性較好的題目．