Question

（2009•煙臺(tái)）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交∠BCD的平分線于點(diǎn)E，連接BE．
（1）求證：BC=CD；
（2）將△BCE繞點(diǎn)C，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCG，連接EG．求證：CD垂直平分EG；
（3）延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)P．求證：P是CD的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長(zhǎng)DE交BC于F，得平行四邊形ABFD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的概念找到線段之間的關(guān)系，從而證明結(jié)論；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，只需說(shuō)明ED=GD，CE=CG，即可證明；
（3）根據(jù)已知條件，要證明P是CD的中點(diǎn)，只需證明PD=AD，借助全等即可證明．
解答：證明：（1）延長(zhǎng)DE交BC于F，
∵AD∥BC，AB∥DF，
∴AD=BF，∠ABC=∠DFC．
在Rt△DCF中，
∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，
∴，
即CD=2CF，
∵CD=2AD=2BF，
∴BF=CF，
∴BC=BF+CF=CD+CD=CD．
即BC=CD．

（2）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
由（1）知BC=CD，
∵CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴BE=DE，
由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知CE=CG，BE=DG，
∴DE=DG，
∴C，D都在EG的垂直平分線上，
∴CD垂直平分EG．

（3）連接BD，
由（2）知BE=DE，
∴∠1=∠2．
∵AB∥DE，
∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．
∵AD∥BC，∴∠4=∠DBC．
由（1）知BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，∴∠4=∠BDP．
又∵BD=BD，∴△BAD≌△BPD，
∴DP=AD．
∵AD=CD，∴DP=CD．
∴P是CD的中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)已知條件巧妙構(gòu)造輔助線，把證明線段相等轉(zhuǎn)化到全等三角形中或根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)進(jìn)行分析．