Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（-4，4），將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時針方向90°得到點(diǎn)C；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）拋物線上一動點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d₁，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為d₂，試說明d₂=d₁+1；
（3）在（2）的條件下，請?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)P位于何處時，△PAC的周長有最小值，并求出△PAC的周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式：y=ax²，把B（-4，4）代入即可得到a的值；過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，易證Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)（3，5）；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），過P作PF⊥y軸于F，PH⊥x軸于H，則有d₁=

1

4

a²，又AF=OF-OA=PH-OA=d₁-1=

1

4

a²-1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d₂=

1

4

a²+1，
即有結(jié)論d₂=d₁+1；
（3）△PAC的周長=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周長=PC+PH+6，要使PC+PH最小，則C、P、H三點(diǎn)共線，P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

9

4

），此時PC+PH=5，得到△PAC的周長的最小值=5+6=11．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式：y=ax²，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（-4，4），
∴4=a•4²，解得a=

1

4

，
所以拋物線的解析式為：y=

1

4

x²；
過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，如圖，
∵點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C，
∴Rt△BAE≌Rt△ACD，
∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，
∴OD=AD+OA=5，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），過P作PF⊥y軸于F，PH⊥x軸于H，如圖，
∵點(diǎn)P在拋物線y=

1

4

x²上，
∴b=

1

4

a²，
∴d₁=

1

4

a²，
∵AF=OF-OA=PH-OA=d₁-1=

1

4

a²-1，PF=a，
在Rt△PAF中，PA=d₂=

AF2+PF2

=

( 1 4 a2-1)2+a2

=

1

4

a²+1，
∴d₂=d₁+1；

（3）作直線y=1，過C點(diǎn)作y=1 的垂線，交拋物線于P點(diǎn)，則P即為所求的點(diǎn)．
由（1）得AC=5，
∴△PAC的周長=PC+PA+5
=PC+PH+6，
要使PC+PH最小，則C、P、H三點(diǎn)共線，
∴此時P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，把x=3代入y=

1

4

x²，得到y(tǒng)=

9

4

，
即P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

9

4

），此時PC+PH=5，
∴△PAC的周長的最小值=5+6=11．

點(diǎn)評：本題考查了點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足二次函數(shù)的解析式和頂點(diǎn)在原點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為：y=ax²；也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及兩點(diǎn)之間線段最短．