Question

如圖，當(dāng)x=2時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c取得最小值-1，并且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的右邊）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）D是線段AC的中點(diǎn)，E為線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），過點(diǎn)E作y軸的平行線EF與拋物線交于點(diǎn)F．問：是否存在△DEF與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△APD為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知，當(dāng)x=2時(shí)，拋物線的最小值為-1，因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）；可用頂點(diǎn)式來設(shè)拋物線的解析式，然后將C的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式．
（2）由于EF∥OC，那么∠FED=45°，因此要使三角形EFD與三角形COA相似，只有兩種情況：當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，∠EDF=90°，由于D是AC中點(diǎn)，而FD⊥AC，三角形AOC又是個(gè)等腰直角三角形，因此DF正好在∠COA的平分線上，即DF在直線y=x上，此時(shí)可先求出直線AC的函數(shù)關(guān)系式，然后聯(lián)立拋物線的解析式求出F的坐標(biāo)，由于E、F的橫坐標(biāo)相同，將F的橫坐標(biāo)代入AC所在的直線的解析式中即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)F為直角頂點(diǎn)時(shí)，∠EFD=90°，那么DF與三角形AOC的中位線在同一直線上，即DF所在的直線的解析式為y=2，然后可根據(jù)（2）的方法求出p點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意可設(shè)拋物線的關(guān)系式為
y=a（x-2）²-1
因?yàn)辄c(diǎn)C（0，3）在拋物線上
所以3=a（0-2）²-1，即a=1
所以，拋物線的關(guān)系式為y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）令y=0，即x²-4x+3=0，
得點(diǎn)A（3，0），B（1，0），線段AC的中點(diǎn)為D（

3

2

，

3

2

）
直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3
因?yàn)椤鱋AC是等腰直角三角形，
所以，要使△DEF與△AOC相似，△DEF也必須是等腰直角三角形．
由于EF∥OC，因此∠DEF=45°，
所以，在△DEF中只可能以點(diǎn)D、F為直角頂點(diǎn)．
當(dāng)F為直角頂點(diǎn)時(shí)，DF⊥EF，此時(shí)△DEF∽△ACO，DF所在直線為y=

3

2

由x²-4x+3=

3

2

，
解得x=

4- 10

2

，x=

4+ 10

2

＞3（舍去）
將x=

4- 10

2

代入y=-x+3，
得點(diǎn)E(

4- 10

2

，

2+ 10

2

)．
當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，DF⊥AC，此時(shí)△DEF∽△OAC，由于點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，
因此，DF所在直線過原點(diǎn)O，其關(guān)系式為y=x．
解x²-4x+3=x，得x=

5- 13

2

，x=

5+ 13

2

＞3（舍去）
將x=

5- 13

2

代入y=-x+3，
得點(diǎn)E（

5- 13

2

，

1+ 13

2

）．
則E的坐標(biāo)是：（

4- 10

2

，

2+ 10

2

）或（

5- 13

2

，

1+ 13

2

）．

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(2，

3+ 17

2

)，(2，

3- 17

2

)，(2，

1

2

)，(2，

14

2

)，(2，-

14

2

)

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合等腰三角形的相關(guān)知識(shí)考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，要注意的是（3）中在不確定△EDF的直角頂點(diǎn)的情況下要分類進(jìn)行討論，不要漏解．