Question

【題目】如圖1，直線l：y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，以AB為直徑作⊙M，點(diǎn)P為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O、A不重合），作PC⊥AB于C，連結(jié)BP并延長交⊙O于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)和tan∠BAO的值；

（2）設(shè)＝x，tan∠BPO＝y．

①當(dāng)x＝1時(shí)，求y的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖2，連接OC，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OCPD的最大值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（8，0）、（0，4）；；（2）①y＝，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，﹣）；②y＝；（3）當(dāng)x＝4時(shí)，OCPD最大值為

【解析】

（1）對于直線l：y＝﹣x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝8，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，即可求解；

（2）①當(dāng)x＝1時(shí)，則BC＝AC，PB＝PA＝，進(jìn)而確定直線BP的表達(dá)式；根據(jù)DM是圓的半徑，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②AB＝AC+BC，求得PA＝，即可求解；

（3）證明△OAC∽△ODP，利用二次函數(shù)求最大值的方法，即可求解．

解：（1）對于直線l：y＝﹣x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝8，

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：(8，0)、（0，4）；

∴tan∠BAO＝＝＝；

（2）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得：AB＝＝4，則圓的半徑r＝2，

①如圖1，當(dāng)x＝1時(shí)，則BC＝AC，

又∵PM⊥AB，

∴AM＝BM＝AB＝2/span>，

∵tan∠BAO＝＝＝，則cos∠BAO＝，

PB＝PA＝＝＝5，

OP＝OA﹣AP＝8﹣5＝3，故點(diǎn)P(3，0)，

在Rt△BOP中，y＝tan∠BPO＝＝；

設(shè)直線BP的表達(dá)式為：y＝kx+b，則，解得：，

故直線BP的表達(dá)式為：y＝﹣x+4，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(m，﹣m+4)，

∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，則其坐標(biāo)為：（4，2），

∵DM是圓的半徑，

∴MD＝(m﹣4)2+(﹣m+4﹣2)2＝(2)2，

解得：m＝0或（舍去0），

故m＝，

故點(diǎn)D(，﹣)；

故y＝，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，﹣)；

②在△Rt△ACP中，AC＝＝PA，

∵＝x，則BC＝xAC，

∵AB＝AC+BC＝PA+PAx＝4，

∴PA＝，

∵OP＝OA﹣PA＝4﹣，

y＝tan∠BPO＝＝＝；

（3）如圖2，連接OD、OC，

∵∠BOA＝90°，∠BCP＝90°，

∴O、P、C、B四點(diǎn)共圓，

∴∠COP＝∠CBP，

而∠CBP＝∠AOD，

∴∠COP＝∠AOD，

而∠BDO＝∠BAO，

∴△OAC∽△ODP，

∴，即OCPD＝ACOP，

設(shè)PA＝x，則OP＝8﹣x，

在Rt△ACP中，AC＝APcos∠BAO＝x＝x，

∴OCPD＝ACOP＝x(8﹣x)＝﹣x2+x，

∵﹣＜0，故OCPD有最大值，

當(dāng)x＝4時(shí)，OCPD最大值為．