Question

已知：如圖，正比例函數(shù)y=ax的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（3，2）
（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；
（3）探索：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△OAP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）將A坐標(biāo)代入y=ax中，得：2=3a，即a=，
∴正比例函數(shù)解析式為y=x，
將A坐標(biāo)代入y=中，得：2=，即k=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=；
（2）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立得：，
解得：或，
∴A（3，2），B（-3，-2），
由函數(shù)圖象得：當(dāng)x＜-3或0＜x＜3時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；
（3）在x軸上存在點(diǎn)P，使△OAP是等腰三角形，如圖所示：
以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與x軸交于P₁與P₂兩點(diǎn)，此時(shí)△OAP₁與△OAP₂都為等腰三角形，
∵A（3，2），∴OA==，
∴P₁（-，0），
過(guò)A作AC⊥x軸，
∵OA=AP₂，∴OC=CP₂=3，
∴P₂（6，0）；
作出線段OA的垂直平分線，與x軸交于P₃，此時(shí)AP₃=OP₃，△OAP₃為等腰三角形，
設(shè)AP₃=OP₃=a，則P₃C=OC-OP₃=3-a，AC=2，
在Rt△ACP₃中，根據(jù)勾股定理得：a²=（3-a）²+2²，即6a=13，
解得：a=，
∴P₃（，0），
綜上，滿足題意的P坐標(biāo)為（-，0）或（6，0）或（，0）．
分析：（1）將A坐標(biāo)代入正比例函數(shù)y=ax中求出a的值，確定出正比例解析式，將A坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式；
（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式，求出A與B的坐標(biāo)，在圖象上找出反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象上方時(shí)x的范圍即可；
（3）在x軸上存在點(diǎn)P，使△OAP是等腰三角形，分別為以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與x軸交于P₁與P₂兩點(diǎn)，此時(shí)△OAP₁與△OAP₂都為等腰三角形；作出線段OA的垂直平分線，與x軸交于P₃，此時(shí)AP₃=OP₃，△OAP₃為等腰三角形，分別求出坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，涉及的知識(shí)有：等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，學(xué)生做題時(shí)注意靈活運(yùn)用．