Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸相交于點A，B（4，0），與y軸相交于點C，直線y=﹣x+3經(jīng)過點C，與x軸相交于點D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為第一象限拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，垂足為點E，PE與線段CD相交于點G，過點G作y軸的垂線，垂足為點F，連接EF，過點G作EF的垂線，與y軸相交于點M，連接ME，MD，設(shè)△MDE的面積為S，點P的橫坐標(biāo)為t，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，過點B作直線GM的垂線，垂足為點K，若BK=OD，求：t值及點P到拋物線對稱軸的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對于直線y=﹣x+3，令x=0得y=3，

∴C（0，3），把B（4，0），C（0，3）的坐標(biāo)代入y=﹣ x2+bx+c得 ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+3

（2）

解：如圖1中，當(dāng)0＜t＜ 時，P（t，﹣ t+ t+3），

∵FG⊥OC，GE⊥OD，CO⊥OD，

∴四邊形FOGE是矩形，

∴OE=FG=t，GE=GD=3﹣t，

∵M(jìn)G⊥FE，F(xiàn)G⊥GE，

∴∠GEF+∠GFE=90°，∠GFE+∠FGM=90°，

∴∠GEF=∠FGM，

在Rt△FGE中，tan∠FEG= = ，

∴在Rt△FGM中，tan∠FGM= = ，

∴FM= ，

∴OM=FO﹣FM=（3﹣t）﹣ = ，

∴S= DEOM= ×（3﹣t）× = ，

當(dāng) ＜t＜3時，S= DEOM= DE（FM﹣OF）= ．

綜上所述，S=

（3）

解：如圖2中，過點C作x軸的平行線，過點B作y軸的平行線，兩直線交于點Q，延長MK與CQ交于點N，延長KM與x軸交于點Z，

∵CQ∥BO，BQ∥CO，

∴四邊形COBQ是平行四邊形，

∵∠COB=90°，

∴四邊形COBQ是矩形，

∴∠CQB=90°=∠BKN，CO=BQ=3，

對于直線y=﹣x+3，令y=0得x=3，

∴D（0，3），

∴OD=OC=BQ=3，

∵BK=OD，

∴BK=BQ，∵BN=BN，

∴Rt△KBN≌Rt△QBN，

∴∠KNB=∠QNB，

∵NQ∥OB，

∴∠QNB=∠NBO=∠KNB，

∴ZN=ZB，設(shè)EG交CQ于H，

∵OC=OB，

∴∠OCD=∠ODC，

∵CQ∥OB，

∴∠QHG=∠HEO=90°，∠HCD=∠CDO，

∴∠OCD=∠HCD，

∵GF⊥OC，GH⊥CH，

∴GH=GF，

∵GM⊥EF，GH⊥HN，

∴∠GEM+∠MGE=90°，∠HGN+∠HNG=90°，

∵∠HGN=∠MGE，

∴∠GEM=∠HNG，

∵∠GFO=∠FOE=∠OEG=90°，

∴∠GEF=90°=∠GHN，

∴△HNG≌△FGE，

∴CH=OE=t=GH，HN=GE=3﹣t，

∴CN=3﹣t+3=3，

∴NQ=BD=1=NK，設(shè)ZK=m，則ZB=ZN=m+1，

在Rt△KZB中，（m+1）2=m2+32，

∴m=4，

∴ZB=5，

∴tan∠GZB= ，tan∠GEF= ，

∴ = ，

∴t= ，

∵拋物線的對稱軸x= ，

∴點P到拋物線的對稱軸的距離為 ﹣ =

【解析】（1）求出點C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為方程組解決問題．（2）分兩種情形①當(dāng)0＜t＜ 時，P（t，﹣ t+ t+3），②當(dāng) ＜t＜3時，分別求出OM的長即可解決問題．（3）如圖2中，過點C作x軸的平行線，過點B作y軸的平行線，兩直線交于點Q，延長MK與CQ交于點N，延長KM與x軸交于點Z，Rt△KBN≌Rt△QBN，推出∠KNB=∠QNB，由NQ∥OB，推出∠QNB=∠NBO=∠KNB，推出ZN=ZB，設(shè)EG交CQ于H，由△HNG≌△FGE，推出CH=OE=t=GH，HN=GE=3﹣t，推出CN=3﹣t+3=3，推出NQ=BD=1=NK，設(shè)ZK=m，則ZB=ZN=m+1，在Rt△KZB中，（m+1）2=m2+32 ， 推出m=4，推出ZB=5，于tan∠GZB= ，tan∠GEF= ，可得 = ，求出t即可解決問題．