Question

（2012•門頭溝區(qū)一模）如圖，對面積為1的△ABC逐次進行以下操作：第一次操作，分別延長AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，順次連接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，記其面積為S₁；第二次操作，分別延長A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至A₂，B₂，C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，順次連接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，記其面積為S₂…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到△A₅B₅C₅，則其面積為S₅=

2476099

．第n次操作得到△A_nB_nC_n，則△A_nB_nC_n的面積S_n=

19ⁿ

．

Answer 1

分析：連接A₁C，找出延長各邊后得到的三角形是原三角形的19倍的規(guī)律，利用規(guī)律求延長第n次后的面積．

解答：解：連接A₁C；
S_△AA1C=3S_△ABC=3，
S_△AA1C1=2S_△AA1C=6，
所以S_△A1B1C1=6×3+1=19；
同理得S_△A2B2C2=19×19=361；
S_△A3B3C3=361×19=6859，
S_△A4B4C4=6859×19=130321，
S_△A5B5C5=130321×19=2476099，
從中可以得出一個規(guī)律，延長各邊后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延長第n次后，得到△A_nB_nC_n，
則其面積S_n=19ⁿ•S₁=19ⁿ
故答案是：2476099；19ⁿ．

點評：本題考查了三角形的面積．注意找到規(guī)律：S_n=19ⁿS₁是解此題的關鍵．