Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．
（1）當(dāng)⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸也相切于K點(diǎn)時(shí)，如圖1，判斷四邊形OAPK的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交于B、C兩點(diǎn)時(shí)，已知B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B（1，0）、C（3，0），且四邊形ABCP為菱形，如圖2，求反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）先利用切線的性質(zhì)得出四邊形OAPK是矩形，再判斷出PA=PK即可得出結(jié)論；
（2）先求出BC=2，再用菱形的性質(zhì)得出AP=PC=BC=2，另為用圓的性質(zhì)得出PB=PC，用勾股定理求出PD即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)，最后代入即可．

解答 解：（1）四邊形OAPK是正方形，
理由：∵P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．
∴∠OAP=90°，
∵⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸也相切于K點(diǎn)，
∴∠OKP=90°，
∵∠AOK=90°，
∴∠OAP=∠AOK=∠OKP=90°，
∴四邊形OAPK是矩形，
∵⊙P和x，y軸都相切，
∴AP=KP，
∴矩形OAPK是正方形．
（2）如圖，

∵B（1，0）、C（3，0），
∴BC=2，
∵四邊形ABCP為菱形，
∴AP=PC=BC=2，
連接BP，
∴BP=PC=BC=2，
∴△PBC是等邊三角形，
過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=1，
在Rt△BPD中，BP=2，PD=$\sqrt{3}$，
∴P（2，$\sqrt{3}$），
∵點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上，
∴k=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，菱形，矩形，正方形的判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)．待定系數(shù)法，掌握特殊四邊形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．