Question

（2002•三明）代數式ax²+bx+c（a≠0）當x取1和3時，代數式的值為0．
（1）求b、c分別與a的關系式；
（2）當代數式的值等于-a和3a時，求x；
（3）用y表示上述代數式的值，把所得到的任意一對有序實數對（x，y）作為直角坐標平面內的點的坐標．請在-3＜a＜3的范圍內，對a取一個合適的值，畫出此時點（x，y）所成圖形的示意圖，然后觀察并寫出點（x，y）的位置隨x的增大而變化的規(guī)律．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=1，x=3分別代入關于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0），便可求出b、c分別與a的關系式．
（2）把（1）中b、c分別與a的關系式代入代數式中，再分別令代數式的值等于-a和3a，求出a的值即可．
（3）在-3＜a＜3的范圍內取a的值，得到關于x，y的函數關系式，求出其頂點坐標，與x軸的交點坐標即可畫出函數圖象．
解答：解：（1）②-①得，8a+2b=0，即b=-4a，
代入①得，a-4a+c=0，
∴c=3a，
∴b=-4a為所求的關系式．

（2）∵b=-4a，c=3a，
∴ax²+bx+c=ax²-4ax+3a，
由題意知，ax²-4ax+3a=-a，
∵a≠0，
∴x²-4x+4=0，
解得x₁=-2，x₂=2；
又ax²-4ax+3a=3a，
∵a≠0，
∴x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4．

（3）∵-3＜a＜3，且a≠0，
∴取a=1，有y=x²-4x+3，
即y=（x-2）²-1．
∴所成圖形為二次函數y=x²-4x+3的圖象，頂點坐標為（2，-1），與x軸的交點坐標為（1，0）（3，0）如圖，
∴①當x＜2時，點（x，y）的位置隨x的增大而減小；
②當x≥2時，點（x，y）的位置隨x的增大而增大．
點評：本題考查的是在方程組中用把一個未知數當作已知，表示另一個未知數的解方程組的方法，及畫二次函數圖象的方法，比較簡單．