Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（2，-2），且經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），并與x軸相交于另一點(diǎn)B，邊接OA、AB．
（1）求拋物線的解析式與B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動到何處時，△OPA是以O(shè)A為直角邊的直角三形？
（3）在線段OB上有兩動點(diǎn)C、D，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊，在OA上有一點(diǎn)M，線段AB上有一點(diǎn)N，并且四邊形CMND是矩形，問當(dāng)C點(diǎn)位于何處時，四邊形CMND的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x-2）²-2，然后把點(diǎn)O的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解，再令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出∠AOB=∠ABO=45°，然后求出∠OAB=90°，從而得到點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時符合；再根據(jù)∠POA=90°時求出直線PO的解析式，然后與拋物線聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)CM=x，根據(jù)矩形的對邊平行可得MN∥CD，然后求出△AMN和△AOB相似，利用相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列式表示出MN，再根據(jù)矩形的面積公式列式整理并利用二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x-2）²-2，
∵經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），
∴4a-2=0，
解得a=

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

（x-2）²-2=

1

2

x²-2x，
即y=

1

2

x²-2x；
令y=0，則

1

2

x²-2x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）；

（2）∵點(diǎn)A（2，-2），B（4，0），
∴∠AOB=∠ABO=45°，
∴∠OAB=180°-45°-45°=90°，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，△OPA是以O(shè)A為直角邊的直角三形，
此時P（4，0），
∠POA=90°時，∠POB=45°，
∴直線OP的解析式為y=x，
聯(lián)立

y=x y= 1 2 x2-2x

，
解得

x1=0 y1=0

，

x2=6 y2=6

，
此時，點(diǎn)P（6，6），
綜上所述，點(diǎn)P（4，0），（6，6）時，△OPA是以O(shè)A為直角邊的直角三形；

（3）設(shè)CM=x，∵四邊形CMND是矩形，
∴MN∥CD，
∴△AMN∽△AOB，
∴

MN

OB

=

2-CM

2

，
即

MN

4

=

2-x

2

，
解得MN=4-2x，
∴四邊形CMND的面積=MN•CM=（4-2x）x=-2（x-1）²+2，
∴當(dāng)x=1時，四邊形CMND的面積最大，最大值為2，
此時，OC=CM=1，
此時，點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），
故，C（1，0）時，四邊形CMND的面積最大，為2．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，（2）難點(diǎn)在于要分情況討論，（3）用CM表示出MN是解題的關(guān)鍵．