Question

如圖，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分別為B、C，E為線段AB上一點(diǎn)，
（1）用尺規(guī)在射線AN上找一點(diǎn)F，使△CDF與△BDE全等（保留作圖痕跡）；
（2）若BE=3，請(qǐng)寫出此時(shí)線段AE與AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）以D為圓心，DE為半徑交AN于F₁或F₂，根據(jù)角平分線定理得到DB=DC，再根據(jù)“HL”可證明Rt△CDF≌Rt△BDE；
（2）先根據(jù)“HL”可證明Rt△DBA≌Rt△DCA得到AB=AC，然后討論：當(dāng)F點(diǎn)在F₁時(shí)，AF=AE；當(dāng)F點(diǎn)在F₂時(shí)，AF₂=AC+CF₂=AB+CF₂=AE+BE+BE，AF-AE=2BE=6．

解答：解：（1）以D為圓心，DE為半徑交AN于F₁或F₂，如圖，
∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，
∴DB=DC，
∵DE=DF，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；

（2）∵DB=DC，DA=DA，
∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；
∴AB=AC，
∵Rt△CDF≌Rt△BDE，
∴BE=CF，
∴當(dāng)F點(diǎn)在F₁時(shí)，AF=AE；
當(dāng)F點(diǎn)在F₂時(shí)，AF₂=AC+CF₂=AB+CF₂=AE+BE+BE，
∴AF-AE=2BE=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了角平分線定理．