Question

（2013•沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=

8 2

5

x²+bx+c經(jīng)過點A（

3

2

，0）和點B（1，2

2

），與x軸的另一個交點為C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）點D在對稱軸的右側(cè)，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC，求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對稱軸于點E，連接AE．
①判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由；
②點F是OB的中點，點M是直線BD的一個動點，且點M與點B不重合，當∠BMF=

1

3

∠MFO時，請直接寫出線段BM的長．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式；
（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x軸，點B與點D縱坐標相同，解一元二次方程求出點D的坐標；
（3）①由BE與OA平行且相等，可判定四邊形OAEB為平行四邊形；
②點M在點B的左右兩側(cè)均有可能，需要分類討論．綜合利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，求出線段BM的長度．

解答：解：（1）將A（

3

2

，0）、B（1，2

2

）代入拋物線解析式y(tǒng)=

8 2

5

x²+bx+c，得：

8 2 5 × 9 4 + 3 2 b+c=0 8 2 5 +b+c=2 2

，
解得：

b=-8 2 c= 42 2 5

．
∴y=

8 2

5

x²-8

2

x+

42 2

5

．

（2）當∠BDA=∠DAC時，BD∥x軸．
∵B（1，2

2

），
當y=2

2

時，2

2

=

8 2

5

x²-8

2

x+

42 2

5

，
解得：x=1或x=4，
∴D（4，2

2

）．

（3）①四邊形OAEB是平行四邊形．
理由如下：拋物線的對稱軸是x=

5

2

，
∴BE=

5

2

-1=

3

2

．
∵A（

3

2

，0），
∴OA=BE=

3

2

．
又∵BE∥OA，
∴四邊形OAEB是平行四邊形．
②∵O（0，0），B（1，2

2

），F(xiàn)為OB的中點，∴F（

1

2

，

2

）．
過點F作FN⊥直線BD于點N，則FN=2

2

-

2

=

2

，BN=1-

1

2

=

1

2

．
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF=

BN2+FN2

=

3

2

．
∵∠BMF=

1

3

∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，
∴∠FBM=2∠BMF．
（I）當點M位于點B右側(cè)時．
在直線BD上點B左側(cè)取一點G，使BG=BF=

3

2

，連接FG，則GN=BG-BN=1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG=

GN2+FN2

=

3

．
∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，
∴△GFB∽△GMF，
∴

GM

GF

=

GF

GB

，即

3 2 +BM

3

=

3

3 2

，
∴BM=

1

2

；
（II）當點M位于點B左側(cè)時．
設(shè)BD與y軸交于點K，連接FK，則FK為Rt△KOB斜邊上的中線，
∴KF=

1

2

OB=FB=

3

2

，
∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，
∴∠BMF=∠MFK，
∴MK=KF=

3

2

，
∴BM=MK+BK=

3

2

+1=

5

2

．
綜上所述，線段BM的長為

1

2

或

5

2

．

點評：本題是中考壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四邊形、勾股定理等知識點．難點在于第（3）②問，滿足條件的點M可能有兩種情形，需要分類討論，分別計算，避免漏解．