Question

如圖，D，E在以AB為直徑的半圓上，F(xiàn)，C在AB上，CDEF為正方形，若正方形邊長(zhǎng)為1，AC=a，BC=b，則下列式子中，不正確的是（　�。�

• A、a-b=1
• B、ab=1
• C、a+b=

  5

• D、a²+b²=5

Answer 1

分析：連OD，則OD²=OC²+CD²=(

1

2

) 2+1²=

5

4

，即OD=

5

2

，所以AB=

5

，即a+b=

5

；由AB為直徑，則∠ADB=90°，CDEF為正方形，DC²=AC•BC，即ab=1；再由這兩個(gè)關(guān)系式通過計(jì)算可判斷另兩個(gè)選項(xiàng)的正誤．

解答：解：∵OD²=OC²+CD²=(

1

2

) 2+1²=

5

4

，即OD=

5

2

，
∴AB=

5

，即a+b=

5

；
故C選項(xiàng)對(duì)；
又∵AB為直徑，則∠ADB=90°，CDEF為正方形，
∴CD⊥AB，
∴DC²=AC•BC（射影定理），
即ab=1；
故B選項(xiàng)對(duì)；
∵（a-b）²=（a+b）²-4ab=（

5

）²-4×1=1，則a-b=1，
故A選項(xiàng)對(duì)；
a²+b²=（a+b）²-2ab=（

5

）²-2×1=3．
故D選項(xiàng)錯(cuò)；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓和等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．同時(shí)考查了勾股定理與代數(shù)式的變形和計(jì)算．