Question

（2010•貴陽(yáng)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），將線段OM繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其延長(zhǎng)到M₁，使得M₁M⊥OM，得到線段OM₁；又將線段OM₁繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其延長(zhǎng)到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到線段OM₂，如此下去，得到線段OM₃，OM₄，…，OM_n
（1）寫出點(diǎn)M₅的坐標(biāo)；
（2）求△M₅OM₆的周長(zhǎng)；
（3）我們規(guī)定：把點(diǎn)M_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3…）的橫坐標(biāo)x_n，縱坐標(biāo)y_n都取絕對(duì)值后得到的新坐標(biāo)（|x_n|，|y_n|）稱之為點(diǎn)M_n的“絕對(duì)坐標(biāo)”．根據(jù)圖中點(diǎn)M_n的分布規(guī)律，請(qǐng)你猜想點(diǎn)M_n的“絕對(duì)坐標(biāo)”，并寫出來．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出M₁、M₂、M₃、M₄的坐標(biāo)，然后求M₅的坐標(biāo)．
（2）要求周長(zhǎng)，就先根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)求出三角形的三邊長(zhǎng)，然后再求周長(zhǎng)．
（3）點(diǎn)M_n的“絕對(duì)坐標(biāo)”可分三類情況來一一分析：當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)M在各象限的分角線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)．
解答：解：（1）由題得：OM=MM₁，
∴M₁的坐標(biāo)為（1，1）．
同理M₂的坐標(biāo)為（0，2），
M₃的坐標(biāo)為（-2，2），
M₄的坐標(biāo)為（-4，0），
M₅（-4，-4）．                                              （4分）

（2）由規(guī)律可知，，
，
OM₆=8．                                                      （6分）
∴△M₅OM₆的周長(zhǎng)是．                                   （8分）

（3）由題意知，OM旋轉(zhuǎn)8次之后回到x軸的正半軸，
在這8次旋轉(zhuǎn)中，點(diǎn)分別落在坐標(biāo)象限的分角線上或x軸或y軸上，
但各點(diǎn)“絕對(duì)坐標(biāo)”的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，
因此，各點(diǎn)的“絕對(duì)坐標(biāo)”可分三種情況：
①當(dāng)n=4k時(shí)（其中k=0，1，2，3，），點(diǎn)在x軸上，則M_n（，0）；（9分）
②當(dāng)n=4k-2時(shí)（其中k=1，2，3，），點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)M_n（0，）；（10分）
③當(dāng)n=2k-1時(shí)，點(diǎn)在各象限的角平分線上，則點(diǎn)M_n（2，2）．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及坐標(biāo)系的知識(shí)．