Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G． H分別AB、BC、 CD、 DA邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH

(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形：

(2)在點(diǎn)E、F、G、H運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，判斷直線GE是否經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，如果是，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出這個(gè)點(diǎn)：如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）是，直線GE總過(guò)AC、BD的交點(diǎn)M，作圖見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠C=90°，BC=AD，由AE=BF=CG=DH證出AH=CF，由SAS證明△AEH≌△CGF，可得HE=FG，同理可得HG=FE即可求解；

（2）直線GE經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)為矩形的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)．只要證明四邊形AECG是平行四邊形，即可推出MA=MG，MG=ME，即點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，又矩形ABCD的對(duì)角線互相平分，推出點(diǎn)M為矩形對(duì)角線ACBD的交點(diǎn)．

解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC=AD，∠A=∠C=90°，

∵BF=DH，

∴BC-BF=AD-DH，即CF=AH，

又AE=CG，

∴△HAE≌△FCG，

∴HE=FG，

同理可證：HG=FE，

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）直線GE經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)為矩形的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)．

理由如下：

如圖，連結(jié)AC、AG、CE，設(shè)AC、EG的交點(diǎn)為M．

∵AE∥CG，AE=CG，

∴四邊形AECG是平行四邊形，

∴MA=MG，MG=ME，

即點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，

又矩形ABCD的對(duì)角線互相平分

∴點(diǎn)M為矩形對(duì)角線ACBD的交點(diǎn)，

∴直線GE總過(guò)AC、BD的交點(diǎn)M．