Question

【題目】已知正方形的邊長為4，一個以點為頂點的角繞點旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊的延長線交于點，連接，設.

（1）如圖1，當被對角線平分時，求的值；

（2）求證：與相似；

（3）當的外心在其邊上時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析 （3），或，

【解析】

（1）先證∠AEC=22.5°，得CE=AC，從而求出a，同理可求b；

（2）先證，再由證得相似；

（3）根據(jù)的外心在其邊上，得到為直角三角形，分，兩種情況，分別求出a，b的值即可.

解：（1），平分，

，

，

，

，

∵正方形的邊長為4，

∴AC=，

∴CE=，即，

∵ACD=45°，

∴∠AFC=∠ACD-∠CAF=22.5°，

∴CF=AC=，即；

（2），

，

，

又，

∽；

（3）∵的外心在其邊上，

∴為直角三角形，

，

或，

①若，

，

，

又，

，

，，

，

，

，

，

，

，；

②若，

，

，

又，

，

，，

，

，

，

，

，

∴，；

∴當的外心在其邊上時

，或，.